REKLAM
120x600

Sponsorlu Bağlantılar

Polinomlar Ders Notu

Yazan: 10 Haziran 2011  
Kategori: Matematik Konu Anlatımı

Sponsorlu Bağlantılar

Polinomlar:

Bu ders notumuzda YGS, LYS, KPSS, DGS, SBS ve daha bir çok sınavda karşımıza çıkan Matematik Polinomlar konusunun geniş konu anlatımını, konun önemli yerlerini bulabilirsiniz.

A. TANIM

n bir doğal sayı ve a0, a1, a2, … , an – 1, an birer gerçel sayı olmak üzere,

P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + an – 1xn – 1+anxn

biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel) katsayılı n. dereceden polinom (çok terimli) denir.

B. TEMEL KAVRAMLAR

P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + an – 1xn – 1+anxn

olmak üzere,

a0, a1, a2, … , an–1, an in her birine polinomun terimlerinin katsayıları denir.

a0, a1x, a2x2, … , an–1xn – 1, anxn in her birine polinomun terimleri denir.

Polinomun terimlerinden biri olan a2x2 teriminde x in kuvveti olan 2 ye bu terimin derecesi denir.

Polinomu oluşturan terimler içerisinde derecesi en büyük olan terimin katsayısına polinomun baş katsayısı, bu terimin derecesine de polinomun derecesi denir ve der [p(x)] ile gösterilir.

Değişkene bağlı olmayan terime polinomun sabit terimi denir.

a0 = a1 = a2 = … = an = an–1 = 0 ise, P(x) polinomuna sıfır polinomu denir. Sıfır polinomunun derecesi tanımsızdır.

a0 ¹ 0 ve a1 = a2 = a3 = … an – 1 = an = 0 ise, P(x) polinomuna sabit polinom denir. Sabit polinomunun derecesi sıfırdır.

Her polinom bir fonksiyondur. Fakat her fonksiyon polinom olmayabilir.Buna göre, fonksiyonlarda yapılan işlemler polinomlarda da yapılır.

 

C. ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOMLAR

P(x, y) = 3xy2 – 2x2y – x + 1

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun derecesi denir.

D. POLİNOMLARDA EŞİTLİK

Aynı dereceli en az iki polinomun eşit dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşit ise bu polinomlara eşit polinomlar denir.

Ü  P(x) polinomunun katsayıları toplamı P(1) dir.

Ü  P(x) polinomunda sabit terim P(0) dır.

Herhangi bir polinomda; katsayılar toplamı bulunurken o polinomda değişkenler yerine 1 yazılır. Sabit terim bulunurken o polinomda değişkenler yerine 0 (sıfır) yazılır.P(ax + b) polinomunun; katsayıları toplamıP(a + b) ve sabit terimi P(b) dir.

Ü  P(x) polinomunun;

Çift dereceli terimlerinin katsayıları toplamı:

1 polinomlar Polinomlar Ders Notu

Tek dereceli terimlerinin katsayıları toplamı:

2 polinomlar Polinomlar Ders Notu

E. POLİNOMLARDA İŞLEMLER

1. Toplama ve Çıkarma

P(x) = anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + …

Q(x) = bnxn + bn – 1xn – 1 + bn – 2xn – 2 + …

olmak üzere,

P(x) + Q(x) = (an + bn)xn + (an – 1 + bn–1)xn – 1 + …

P(x) – Q(x) = (an – bn)xn + (an – 1 – bn–1)xn – 1 + …

olur.

2. Çarpma

İki polinomun çarpımı, birisinin her bir teriminin diğerinin her bir terimi ile ayrı ayrı çarpımlarından elde edilen terimlerin toplamına eşittir.

3. Bölme

der [P(x)] ³ der [Q(x)] ve Q(x) ¹ 0 olmak üzere,

3 polinomlar Polinomlar Ders Notu

P(x) : Bölünen polinom

Q(x) : Bölen polinom

B(x) : Bölüm polinom

K(x) : Kalan polinomdur.

P(x) = Q(x) . B(x) + K(x)

der [K(x)] < der [Q(x)]

K(x) = 0 ise, P(x) polinomu Q(x) polinomuna tam bölünür.

der [P(x)] = der [Q(x)] + der [B(x)]

Polinomlarda bölme işlemi, sayılarda bölme işlemine benzer biçimde yapılır.

Bunun için;

  1. Bölünen ve bölen polinomlar x in azalan kuvvetlerine göre sıralanır.
  2. Bölünen polinom soldan ilk terimi, bölen polinomun ilk terimine bölünür.
  3. Bulunan bu bölüm, bölen polinomun bütün te-rimleri ile çarpılarak, aynı dereceli terimler alt alta gelecek biçimde bölünen polinomun altına yazılır.
  4. Bulunan sonuç, bölünen polinomdan çıkarılır. Fark polinomuna da aynı işlem uygulanır.
  5. Yukarıdaki işlemlere, kalan polinomun derecesi bölen polinomun derecesinden küçük oluncaya kadar devam edilir.

 

F. KALAN POLİNOMUN BULUNMASI

Kalan polinomu, klasik bölme işlemiyle ya da aşağıdaki 3 yöntemden biri ile bulabiliriz.

1. Bölen Birinci Dereceden İse

Bir polinomun ax + b ile bölümünden kalanı bulmak için, polinomda değişken yerine 4 polinomlar Polinomlar Ders Notu yazılır.

  •  P(x) in x – b ile bölümünden kalan P(b) dir.
  •  P(mx + n) nin ax + b ile bölümünden kalan

5 polinomlar Polinomlar Ders Notu

2. Bölen Çarpanlara Ayrılıyorsa

Bölen çarpanlara ayrılıyorsa, her çarpan sıfıra eşitlenir. Bulunan kökler polinomda yazılarak kalan bulunur.

P(x) polinomunun a(x – b) . (x – c) ye bölümünden kalan mx + n ve bölüm polinom Q(x) ise,

P(x) = a(x – b) . (x – c) . Q(x) + mx + n olur.

P(b) = mb + n … (1)

P(c) = mc + n … (2)

(1) eşitliği ile (2) eşitliğinin ortak çözümünden m ve n bulunur.

Bölen polinomun derecesi n ise kalan polinomun derecesi en fazla (n – 1) dir.

3. Bölen Çarpanlarına Ayrılamıyorsa

Bölen çarpanlarına ayrılamıyorsa aşağıdaki 2 yöntem sırasıyla uygulanarak kalan polinom bulunur.

1) Bölen polinom sıfıra eşitlenerek en büyük dereceli değişkenin eşiti bulunur.

2) Bulunan ifade bölünen polinomda yazılır.

  •  P(x) polinomunun ax2 + bx + c ile bölü-münden kalanı bulmak için P(x) polinomunda x2 yerine yazılır.

4. P(x) Polinomu (ax + b)n İle Tam Bölünüyorsa, (n Î N+)

6 polinomlar Polinomlar Ders Notu
P(x) = axn + bxm + d ise,Pı(x) = a . nxn–1 + b . mxm–1 + 0Pıı(x) = a . n . (n – 1)xn – 2 + b . m(m –1) . xm – 2 dir.

 

P(x) polinomunun (x – a) ile bölümünden elde edilen bölüm Q(x) ve kalan k1, Q(x) polinomunun (x – b) ile bölümünden kalan k2 ise,P(x) in (x – a) (x – b) ile bölümünden kalanK(x) = (x – a) k2 + k1 olur.

G. BASİT KESİRLERE AYIRMA

a, b, c, d, e, f A, B birer reel (gerçel) sayı olmak üzere,

7 polinomlar Polinomlar Ders Notu

eşitliğinde A yı bulmak için, A nın paydasının kökü bulunur.

8 polinomlar Polinomlar Ders Notu

Bulunan bu değer eşitliğin sol yanında A nın paydası atılarak elde edilen 9 polinomlar Polinomlar Ders Notu de yazılır.

Aynı işlemler B için de yapılır.

10 polinomlar Polinomlar Ders Notu

 

H. DERECE İLE İLGİLİ İŞLEMLER

m > n olmak üzere,

der[P(x)] = m

der[Q(x)] = n olsun.

Buna göre,

  1. der[P(x) ± Q(x)] = m tir.
  2. der[P(x) . Q(x)] = m + n dir.
  3. P(x) in Q(x) ile bölümünden elde edilen bölüm B(x) ise, der[B(x)] = m – n dir.
  4. k Î N+ için der[Pk(x)] = k . m dir.
  5. der[P(kx)] = m, k ¹ 0 dır.
  • Kaynak İndirme Bilgileri
  • Site: www.derscalisiyorum.com
  • Dosya İçeriği: Polinomlar
  • Dosya Boyutu/Türü: 286 KB/ PDF
  • Dosya İndirme Linki: Tıklayınız.
Gelen aramalar: polinomlar konu anlatm,polinomlar konu anlatımı pdf,polinomlar ders notları,10 sınıf polinomlar konu anlatımı,polinomlarda eşitlik
Sponsorlu Bağlantılar
Derscalisiyorum.com: YGS | LYS | ÖSS | SBS | ALES | AÖL | AİÖ | AÖF | KPSS | DGS | İlkokul (1-2-3-4.Sınıf)  Ortaokul (5-6-7-8.Sınıf) ve Lise 9-10-11-12 Sınıf Konu Anlatımı, Denemeler, Çıkmış Sorular, Çözümlü Sorular, Ders Notları, Sunumlar, Slaytlar, Yazılı Soruları, Konu Anlatımı Videoları bünyesinde bulunduran Türkiye'nin En Büyük Eğitim Sitesi.
Kaynakların Kopyalanması: Kaynaklara ulaşmanıza yardımcı olması için sitemizdeki kaynakların altına indirme linkleri eklenmiştir.Bu linkleri tıklayarak istediğiniz kaynağı bilgisayarınıza indirebilirsiniz.

Yorumlar

"Polinomlar Ders Notu" için 1 Yorum

  1. Emre tarafından 03 Eylül 2013 14:03 tarihinde 

    Çift dereceli ve.tek dereceli polinomin katsayıları toplami yanlıs yazilmis