Sponsorlu Bağlantılar

Matris ve Determinant Ders Notu

Yazan: 12 Haziran 2011  
Kategori: Matematik Konu Anlatımı

Sponsorlu Bağlantılar

MATRİS ve DETERMİNANT

Bu ders notumuzda bir  çok sınavda karşımıza çıkan Matematik Matris ve Determinant konularının geniş konu anlatımını, konun önemli yerlerini bulabilirsiniz.

A. MATRİSİN TANIMI

1 matris Matris ve Determinant Ders Notu

şeklinde, bir cismin elemanlarının sıralı bir tablosuna m ´ n türünde
(m tane satır ve n tane sütun) bir matris denir.

Matrisler büyük harfle gösterilir. Tablodaki yatay sıralara satır, düşey sıralara sütun adı verilir.

2 matris Matris ve Determinant Ders Notu

elemanları, A matrisinin 1. satırını oluşturmaktadır.

3 matris Matris ve Determinant Ders Notu

elemanları, A matrisinin 3. sütununu oluşturmaktadır.

Burada aij genel terimi gösterir. i, satır numarası ve j, sütun numarasıdır.

Bu matrisin m kadar satırı, n kadar sütunu vardır.

B. MATRİS ÇEŞİTLERİ

1. Sıfır Matrisi

Bütün elemanları sıfır olan matrise sıfır matrisi denir.

2. Kare Matrisi

 

4 matris Matris ve Determinant Ders Notu

Satır ve sütun sayısı eşit olan matrise kare matris denir.

A matrisi (4 ´ 4 boyutlu) 4 satırlı ve 4 sütunlu bir kare matristir.

3. Birim Matris

5 matris Matris ve Determinant Ders Notu

Bütün köşegen elemanları 1 ve diğer bütün elemanları sıfır olan kare matrislere birim matris denir ve birim matris I harfi ile gösterilir. Yandaki matris 4 ´ 4 boyutlu birim matristir.

C. MATRİSLERİN EŞİTLİĞİ

Aynı türden iki matrisin, bütün aynı indisli terimleri eşit ise, bu matrisler eşittir. Bu ifadenin tersi de doğrudur. Yani, eşit iki matrisin, aynı indisli bütün terimleri eşittir.

D. MATRİSİN DEVRİĞİ (TRANSPOZU)

Bir matrisin devriği (transpozu) satırların sütun, sütunların satır haline getirilmesiyle elde edilen matristir.

Bir A matrisinin transpozu AT ya da Ad biçimlerinden biri ile gösterilebilir.

6 matris Matris ve Determinant Ders Notu

E. MATRİSİN REEL SAYI İLE ÇARPIMI

Bir matris c gibi bir sayı ile çarpılınca matrisin bütün elemanları c ile çarpılır.

7 matris Matris ve Determinant Ders Notu

F. MATRİSLERİN TOPLAMI

Aynı türden matrisler toplanır. Bunun için, aynı indisli terimler toplanır.

8 matris Matris ve Determinant Ders Notu

G. MATRİSLERİN FARKI

Aynı türden matrisler çıkarılır. Bunun için, aynı indisli terimler çıkarılır.

9 matris Matris ve Determinant Ders Notu

Özellik

1. A + B = B + A (Değişme özelliği vardır.) 2. A + (B + C) = (A + B) + C (Birleşme özelliği vardır.)3.A + O = O + A = A (Sıfır matrisi toplamaya göre birim (etkisiz) elemandır.)4. A + (–A) = O (–A matrisi A matrisinin toplamaya göre tersidir.)

5. (A + B)T = AT + BT

6. (A – B)T = AT – BT

7. k × (A + B) = k × A + k × B 10 matris Matris ve Determinant Ders Notu

8. k × (A – B) = k × A – k × B 10 matris Matris ve Determinant Ders Notu

9. (k + p) × A = k × A + p × A 11 matris Matris ve Determinant Ders Notu

10. k × (p × A) = (k × p) × A 11 matris Matris ve Determinant Ders Notu

H. İKİ MATRİSİN ÇARPIMI

A ve B matrislerinin çarpılabilmesi için A matrisinin sütun sayısı,
B matrisinin satır sayısına eşit olmalıdır.

m ´ n türünde A matrisi ile n ´ p türünde B matrisinin çarpımı m ´ p türünde olur.

Çarpma işlemi birinci matrisin satırları ile ikinci matrisin sütunları çarpılıp toplanarak yapılır.

Özellik

1. A × B ¹ B × A (Değişme özelliği yoktur. Ancak bazı özel durumlarda eşitlik olabilir.) A × I = I × AAm × An = Am + nA–1 × A = A × A–1

2. A × (B × C) = (A × B) × C (Birleşme özelliği vardır.)

3. A × (B + C) = A × B + A × C

(B + C) × A = B × A + C × A

Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine sağdan ve soldan dağılma özelliği vardır.

4. A × B = O ise A = O veya B = O olması gerekmez.

5. A × I = I × A = A (I matrisi çarpmaya göre etkisiz elemandır.)

6. A × B = B ise A = I olması gerekmez.

7. (A × B)T = BT × AT

(A × B × C)T = CT × BT × AT

I. KARE MATRİSİN KUVVETİ

A bir kare matrisi I birim matris ve m, n pozitif tam sayı olmak üzere, matrisin kuvveti aşağıdaki biçimde ifade edilir.

12 matris Matris ve Determinant Ders Notu

Ayrıca,

13 matris Matris ve Determinant Ders Notu

olur.

Birim matrisin bütün kuvvetleri yine birim matristir.

14 matris Matris ve Determinant Ders Notu

Kural

2 × 2 boyutundaki bazı özel matrislerin büyük kuvvetleri karşımıza çıkabilir.Bu özel durumların başlıcaları şunlardır
15 matris Matris ve Determinant Ders Notu16 matris Matris ve Determinant Ders Notu

J. MATRİSİN DETERMİNANTI

Determinant, kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur.

Determinant fonksiyonunun, kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin determinantı denir.

A matrisinin determinantı, detA veya |A| biçiminde gösterilir.

|A|, matrislerde mutlak değer anlamına gelmez. |A| sıfır veya negatif de olabilir.

Kural

 17 matris Matris ve Determinant Ders Notu  23 matris Matris ve Determinant Ders NotuTürü ne olursa olsun, birim matrisin determinantı 1 dir.

1. Sarrus Kuralı

A = [aij]3×3 biçimindeki matrislerin determinantını bulmak için Sarrus kuralı kullanılır.

18 matris Matris ve Determinant Ders Notu

3 ´ 3 türündeki bir matrisin determinantı şöyle bulunur:

1. İlk iki satır sırasıyla alta birer defa daha yazılır.

2. Köşegeni oluşturan a11, a22, a33 çarpılır; çarpım sağa yazılır.

3. Köşegenin hemen altındaki a21, a32, a13 çarpılır; çarpım sağa yazılır.

4. Aynı yaklaşımla a31, a12, a23 çarpılır; çarpım sağa yazılır.

5. Sağa yazılan üç çarpımın toplamı T1 olsun

6. Diğer köşegeni oluşturan a13, a22, a31 çarpılır; çarpım sola yazılır.

7. Diğer köşegenin hemen altındaki a23, a32, a11 çarpılır; çarpım sola yazılır.

8. Aynı yaklaşımla a33, a12, a21 çarpılır; çarpım sola yazılır.

9. Sola yazılan üç çarpımın toplamı T2 olsun,

19 matris Matris ve Determinant Ders Notu

10. A matrisinin determinantı: detA = T1 – T2 dir.

2. İşaretli Minör (Kofaktör)

Bir kare matriste aij elemanının minörü Mij olsun.

aij elemanının işaretli minörü (kofaktörü):

19 1matris Matris ve Determinant Ders Notu

Kural

 20 matris Matris ve Determinant Ders Notumatrisi verilsin. Bir matrisin determinantı, bu matrisin herhangi bir satır veya sütun elemanları ile bu elemanların işaretli minörlerinin çarpımlarının toplamına eşittir.i. satıra göre determinant:21 matris Matris ve Determinant Ders Notu

j. sütuna göre determinant:

22 matris Matris ve Determinant Ders Notu

3. Determinantın Özellikleri

Özellik

 23 matris Matris ve Determinant Ders NotuBir satır veya bir sütunun tüm elemanları sıfır olan matrislerin determinantı sıfırdır. 23 matris Matris ve Determinant Ders NotuHerhangi iki satır veya iki sütunun elemanları eşit olan matrisin determinantı sıfırdır. 23 matris Matris ve Determinant Ders NotuHerhangi iki satır veya iki sütunun elemanları orantılı olan matrisin determinantı sıfırdır. 23 matris Matris ve Determinant Ders NotuHerhangi iki satır veya iki sütunun yerleri değişirse determinantının işareti değişir.

23 matris Matris ve Determinant Ders NotuBir kare matrisin determinantı ile transpozunun determinantı eşittir.

23 matris Matris ve Determinant Ders NotuKare matrislerin çarpımlarının determinantı, bu matrislerin determinantları çarpımına eşittir.

det(A × B) = detA × detB

23 matris Matris ve Determinant Ders NotuBir kare matrisin kuvvetinin determinantı, determinantının kuvvetine eşittir.

detAn = (detA)n

23 matris Matris ve Determinant Ders Notu Bir kare matrisin çarpmaya göre tersinin determinantı, determinantının tersine eşittir.

24 matris Matris ve Determinant Ders Notu

23 matris Matris ve Determinant Ders NotuA = [aij|m×n matrisinin k ile çarpımının determinantı,
A nın determinantının kn ile çarpımına eşittir.

25 matris Matris ve Determinant Ders Notu

23 matris Matris ve Determinant Ders NotuBir kare matrisin bir satır ve bir sütunun tüm elemanları
k ile çarpılırsa, elde edilen matrisin determinantı ilk matrisin determinantının k ile çarpımına eşittir.

23 matris Matris ve Determinant Ders NotuBir matrisin herhangi bir satırını k ile çarpıp diğer bir satıra ekleyince veya herhangi bir sütununu k ile çarpıp diğer bir sütuna ekleyince determinantının değeri değişmez.

23 matris Matris ve Determinant Ders NotuSadece bir satır veya bir sütun elemanları farklı olan matrislerin determinantları toplamı, diğer satır veya sütunları aynı olan ve farklı sütunu farklı sütunların toplamı kadar olan yeni matrisin determinantına eşittir.

K. EK MATRİS (ADJOİNT MATRİS)

Bir matrisin elemanları yerine, o elemanların işaretli minörlerinin yazılıp transpozu alınarak elde edilen matrise ek matris denir ve Ek(A) biçiminde gösterilir.

26 matris Matris ve Determinant Ders Notu

L. BİR MATRİSİN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ

a = [Aij]m×m biçimindeki kare matrislerin, çarpmaya göre tersini A–1 biçiminde gösteririz.

Determinantı sıfırdan farklı matrislerin tersi vardır.

27 matris Matris ve Determinant Ders Notu

Kural

28 matris Matris ve Determinant Ders Notu

Özellik

29 matris Matris ve Determinant Ders Notu
  • Kaynak İndirme Bilgileri
  • Site: www.derscalisiyorum.com
  • Dosya İçeriği: Matris ve Determinant
  • Dosya Boyutu/Türü: 280 KB/ PDF
  • Dosya İndirme Linki: Tıklayınız.
Gelen aramalar: matris determinant,matris,matris ve determinant,matris konu anlatımı pdf,determinant
Sponsorlu Bağlantılar
Derscalisiyorum.com: YGS | LYS | ÖSS | SBS | ALES | AÖL | AİÖ | AÖF | KPSS | DGS | İlkokul (1-2-3-4.Sınıf)  Ortaokul (5-6-7-8.Sınıf) ve Lise 9-10-11-12 Sınıf Konu Anlatımı, Denemeler, Çıkmış Sorular, Çözümlü Sorular, Ders Notları, Sunumlar, Slaytlar, Yazılı Soruları, Konu Anlatımı Videoları bünyesinde bulunduran Türkiye'nin En Büyük Eğitim Sitesi.
Kaynakların Kopyalanması: Kaynaklara ulaşmanıza yardımcı olması için sitemizdeki kaynakların altına indirme linkleri eklenmiştir.Bu linkleri tıklayarak istediğiniz kaynağı bilgisayarınıza indirebilirsiniz.

Yorumlar